デカルト座標系の概要

参照:グラフとチャート

折れ線グラフでデータを表示する場合でも、海岸沿いのボートでルートをプロットする場合でも、国立公園の地図で駐車場の場所を見つける場合でも、ポイントの座標を理解する必要があります。

ポイントは単一の場所どこでも。直線(1次元)、2次元表面、または飛行機(たとえば、紙の上のドット)または3次元空間(特定の時点で飛行中の航空機の位置など)。

ポイント自体は無次元(つまり、寸法や測定可能なサイズはありません)。そのポジション重要なのはです。あなたが考えることができるすべての点、空間内のすべての原子は、それ自体だけが占める独自の場所を持っています。この場所は時間とともに変化する可能性がありますが(航空機はAからBに飛行します)、任意の時点で、固有の場所があります。すべてのポイントには、そのと呼ばれるアドレスがあります座標、別の相対的な位置を説明します既知ロケーション。

2次元平面では、点は次のように記述できます。座標のペア、 間に座標系、(x、y)など。 3次元空間では、点は3つの座標で表すことができます。 (x、y、z)。遭遇する可能性のある最も一般的な座標系は次のとおりです。デカルト座標系。これらは、平面、表面、または空間を平らな長方形の寸法(ボックスや正方形のグリッドなど)で記述できる場合に使用されます。

しかし、あるところ湾曲線、面、空間が関係する場合、円形から派生したシステムを使用する必要があります。詳細については、上のページを参照してください。極座標、球座標、または円筒座標系

2次元デカルト座標

2次元平面上のカルテシアン座標系は、2つの垂直軸によって定義されます。

言い換えると、平らな面(たとえば、平らな紙、薄いガラス板、またはサッカー場の表面)に互いに直角に描かれた2本の線は、その面のすべての点に参照グリッドを提供します。このタイプのシステムは、長方形または直交基準軸が垂直であるため、座標系。

典型的なデカルト座標系は、x軸とy軸によって定義されます。各軸には、長さまたは距離(メートルやマイルなど)の単位があります。座標系内の任意の点は、x軸とy軸の両方に対する距離(x、y)で表されます。軸は、xとyの両方の値がゼロになるポイントで交差します。これは呼ばれます原点(0,0)

以下は、2次元デカルトシステム内の5つの異なる点の座標を示す例であり、軸は従来x(水平)およびy(垂直)とラベル付けされていました。 5つのポイントはそれぞれ2つの数値で定義され、最初の数値はy軸に垂直な距離(x値)であり、2番目の数値はx軸に垂直な距離(y値)です。注意してください方向原点からの値も重要です。これにより、xとyの値が正か負かが決まります。

デカルト座標の例

上記のような図、たとえば地図やデータのコレクションに出くわした場合、次の2つのいずれかを実行する必要があります。

  • どちらかチャート上にポイントがあり、その座標を決定する必要があります。
  • またはあなたは座標を持っていて、あなたはポイントの位置を計算する必要があります。

ポイントの座標を決定する

点の座標を決定するには、次のことを考慮してください。ポイントA図中(正のxおよびy象限、または象限1で赤でマークされています)。まず、原点からx軸に沿った距離、つまりy軸からの垂直距離を測定します。これにより、値が2のx座標が得られます。次に、ポイントがy軸に沿って、x軸から垂直方向にどれだけ離れているかを測定します。これにより、値が3のy座標が得られます。

の座標ポイントAしたがって、(2,3)です。

座標から点の位置を見つける

2番目の例では、座標(-5.5、-1.5)が与えられ、グラフまたはマップ上でそのポイントの位置を見つける必要がある場合があります。この場合、値-5.5に達するまで、最初に負のx軸に沿って移動します。次に、その位置から、垂直方向に-1.5単位、つまり負のy軸に平行な1.5単位移動し、ポイントをマークします。または、x = -5.5に垂直線を描画し、y = -1.5に水平線を描画することもできます。

2本の線が交差するのは点(-5.5、-1.5)で、これは図に次のように示されています。ポイントB、第3象限。

警告!シーケンスは重要です!


座標を読み書きするときは、非常に重要それらは常にx、yの順序になっていること。図の象限1を見ると、次のことがわかります。ポイントA(2,3)はポイント(3,2)とはまったく異なる場所にあります!

座標軸:重要な規則

デカルト座標系には、xとyのラベルが付いた軸があることがよくありますが、常にそうであるとは限りません。ただし、ポイント(x、y)はポイント(y、x)と同じではないため、一方を他方から明確に区別することが重要です。

一般的な使用法では、水平(x)軸は横軸垂直(y)軸は縦座標。横軸と縦軸は、軸にxとyのラベルが付いているかどうかに関係なく、座標系の任意の点の1番目と2番目の座標です。

どの軸がbscissaまたはまたはrdinate、アルファベットで覚えておいてください、xはyの前に来るそしてAはOの前に来る。あなたも行くことを想像することができます廊下を長くしてから階段を上る!



三次元デカルト座標

3次元デカルト座標系では、空間内の点の位置を3つの座標(通常は(x、y、z))で記述する必要があります。 2次元システムでは、点は平面上のどこかにあります。ただし、平面には長さと幅しかありませんが、3次元空間にも高さまたは深さが必要です。この場合、ポイントは長方形のボックス内のどこかにあると想像できます。

最初の2つの座標xとyは、2次元システムの場合と同じ方法で決定されます。これらは、ポイントがx-y平面に直角に下向き(または上向き)に投影された場合のポイントの位置を表します。これを視覚化しやすくするために、肩の高さで腕を伸ばして、手にボールを持っていることを想像してみてください。ボールがあなたのポイントです。ボールを落とすと、手の位置のすぐ下の地面に跳ね返ります。地面がx-y平面の場合、ボールが跳ね返るポイントはポイントの(x、y)座標です。

3次元システムには、x-y平面に垂直なz軸もあります。ボールを持っていた地面の上の位置がそのz座標です。 3次元デカルトシステムの原点は、x、y、zがすべてゼロ(0,0,0)に等しくなる点です。

数学的に言えば、ポイントP典型的な3次元デカルト座標系で下の図に示されています。Pこの例のボールと同等です。

三次元デカルト座標

工学、物理学、建築、またはその他のコンピュータ支援設計のアプリケーションに携わっていない限り、日常生活で3Dデカルト座標系を使用する必要はほとんどありません。ただし、それらがどのように機能するかを理解することは役に立ちます。家庭で使用される多くの3D設計および描画パッケージはこれらの原則に基づいて機能するため、空間ジオメトリの基本的な知識は、それらを正常に使用するために役立つことがよくあります。


デカルト座標の適用

代数方程式のグラフを作成する際のデカルト座標の使用

数学では、その特性を完全に理解して解釈するために、代数方程式からグラフをプロットする必要がある場合があります。 (y )=ƒ((x ))、((x )の関数としての(y ))の形式の方程式は、デカルト座標で描くことができます。 (x )の各値について、方程式から(y )の値を決定できるため、グラフ上の各点((x )、(y ))をプロットできます。

下の図は、二次方程式の特性曲線を示しています。

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

方程式のグラフy = x ^ 2 + 9x + 20
詳細については、上のページを参照してください。グラフとチャートそして二次方程式

地図の読み取りスキルにデカルト座標を適用する

友達が言うと想像してみてください

「私たちはB4437の駐車場で会い、昼食のためにピクニックサイトに歩いて行きます。後でパブに車で行くことができます。それは道のそばにあるものです。教会にたどり着いたら、行き過ぎです!」

座標を示すためにNorthingsとEastingsを示す単純なマップ。

上の図は、その地域の単純な地図を示しています。

最近では、衛星ナビゲーションやGoogleマップなどのモバイルアプリケーションのおかげで、事実上どこにでも行くことができます。ただし、地図を読むスキルがあると非常に便利です。モバイル信号がない、またはバッテリーが消耗している状況に陥る可能性があります。

すべてのタイプのマップにはキー、マップで使用されているすべてのシンボルとその意味のリスト、およびそのエリアに固有の番号付きグリッドです。英国のOrdnanceSurveyは、世界で最も有名な地図作成者の1つです。 OSによってマップされた場所には、固有のものがありますグリッドリファレンス、それは座標。ノーフォークの風車であろうと、スコットランドの山の三角点であろうと、グリッド参照があれば地図上で見つけることができます。

マップ上の座標は、4桁または6桁のグリッド参照です。デカルトx軸はに置き換えられますイーストイングとy軸によって北欧。点の座標は、デカルト座標系と同じ方法で検出されます–廊下に沿って階段を上る

4桁のグリッドリファレンス場所を含む地図上の正方形を示します。座標は、正方形の左下隅にある点です。たとえば、駐車場は1947年に、パブは2145年にあります。

しかし、場所のより正確な説明が必要な場合はどうでしょうか。この例では、ピクニックサイトの正確な場所を知る必要があります。これは、駐車場や道路から少し離れているためです。この場合、6桁のグリッド参照が必要です。

6桁のグリッドリファレンスグリッドの各正方形が、方眼紙の単位のように10のサブディビジョンに分割されることを想像することによって得られます。ピクニックサイトの4桁のグリッド参照は2048ですが、10分の1の数を20と48に追加することで、場所のより正確な説明を見つけることができます。

最初に東部を見ると、ピクニックサイトは20と21の中間未満であることがわかります。これは、約20.4、つまり20から10分の4であると見積もることができます。したがって、グリッド参照の最初の3桁は次のようになります。 203と書かれています。北極圏を見ると、場所は48と49の間の約3分の1であるため、2番目の3桁は483です。したがって、ピクニックサイトは203483にあります。

教会のグリッドリファレンスを見つけてみてください。

答えは218447です。


結論

サーフェス上または3D空間内のポイントの最も重要なプロパティは、その正確な位置です。これは、デカルト座標系などの座標系を使用して測定できます。

座標系がどのように機能するかを理解することは、グラフを描くときに数学的に役立ちます。また、地図を持っている場合に迷子になるのを防ぐこともできます。


次の手順に進みます。
極座標、円筒座標、および球座標
面積の計算