面積の計算

参照:ポリゴンのプロパティ

面積は、形状の内部にあるスペースの大きさの尺度です。形状や表面の面積を計算することは、日常生活で役立ちます。たとえば、壁を覆うために購入する塗料の量や、芝生をまくのに必要な草の種の量を知る必要がある場合があります。

このページでは、正方形や長方形、三角形や円などの一般的な形状の面積を理解して計算するために知っておく必要のある基本事項について説明します。

グリッド法を使用した面積の計算

図形がスケーリングされたグリッド上に描画される場合、図形内のグリッドの正方形の数を数えることで領域を見つけることができます。

形状の面積を計算するのに役立つ番号付きグリッド。

この例では、長方形の内側に10個のグリッドの正方形があります。


グリッド法を使用して面積値を見つけるには、グリッドの正方形が表すサイズを知る必要があります。

この例ではセンチメートルを使用していますが、同じ方法が長さまたは距離の任意の単位に適用されます。たとえば、インチ、メートル、マイル、フィートなどを使用できます。

グリッドを使用して形状の面積を計算します。

この例では、各グリッドの正方形の幅は1cm、高さは1cmです。言い換えれば、各グリッドの正方形は1つの「平方センチメートル」です。

大きな正方形の内側のグリッドの正方形を数えて、その面積を見つけます。

小さな正方形が16個あるので、大きな正方形の面積は16平方センチメートルです。

数学では、「平方センチメートル」をcmと略します。。ザ・「二乗」を意味します。

各グリッドの正方形は1cmです

大きな正方形の面積は16cmです


グリッド上の正方形を数えて領域を見つけることは、グリッドのサイズがわかっている限り、すべての形状で機能します。ただし、形状がグリッドに正確に適合しない場合、またはグリッドの正方形の分数を数える必要がある場合、この方法はより困難になります。

形状の面積を計算するのに役立つ1cmの正方形のグリッド。

この例では、正方形はグリッドに正確にフィットしていません。

グリッドの正方形を数えることで、面積を計算することもできます。

  • 25個の完全なグリッドの正方形があります(青で網掛けされています)。
  • 10個のハーフグリッドの正方形(黄色の網掛け)–10個のハーフグリッドは5個のフルスクエアと同じです。
  • 4分の1の正方形(緑色の網掛け)–(正方形全体の1/4または0.25)もあります。
  • 平方全体と分数を合計します:25 + 5 + 0.25 = 30.25。

したがって、この正方形の面積は30.25cmです。

これは30¼cmと書くこともできます


グリッドを使用して形状内の正方​​形を数えることは、面積の概念を学習する非常に簡単な方法ですが、グリッドの正方形の多くの部分を足し合わせる場合、より複雑な形状の正確な領域を見つけるのにはあまり役立ちません。

面積は、使用している形状のタイプに応じて、簡単な式を使用して計算できます。

このページの残りの部分では、グリッドシステムを使用せずに形状の面積を計算する方法の説明と例を示します。


単純な四辺形の領域:
正方形と長方形と平行四辺形

最も単純な(そして最も一般的に使用される)面積計算は、正方形と長方形用です。

長方形の面積を見つけるには、その高さに幅を掛けます。

正方形の場合、片方の辺の長さを見つけるだけで(各辺は同じ長さであるため)、これをそれ自体で乗算して面積を求めます。これは長さを言うのと同じですまたは長さの2乗。

2つの辺を測定して、形状が実際に正方形であることを確認することをお勧めします。たとえば、部屋の壁は正方形のように見えるかもしれませんが、それを測定すると、実際には長方形であることがわかります。

正方形と長方形の面積を計算する方法を示す図。

多くの場合、実際の生活では、形状はより複雑になる可能性があります。たとえば、適切な量のカーペットを注文できるように、床の面積を見つけたいとします。

部屋の一般的な平面図は、単純な長方形または正方形で構成されていない場合があります。

奇妙な形の部屋の面積を計算する方法を示す図。

この例、およびそのような他の例では、トリックは形状をいくつかの長方形(または正方形)に分割することです。形状をどのように分割するかは問題ではありません。3つの解決策のいずれも同じ答えになります。

解決策1と2では、2つの形状を作成し、それらの面積を合計して総面積を求める必要があります。

解決策3の場合、大きな形状(A)を作成し、そこから小さな形状(B)を差し引いて、領域を見つけます。


もう1つの一般的な問題は、境界の領域、つまり別の形状内の形状を見つけることです。

この例は、フィールドの周りのパスを示しています–パスの幅は2mです。

この例でも、パスの領域を計算する方法はいくつかあります。

パスを4つの別々の長方形として表示し、それらの寸法を計算してから面積を計算し、最後に面積を合計して合計を求めることができます。

より速い方法は、形状全体の面積と内部の長方形の面積を計算することです。パスの領域を残して、全体から内部の長方形の領域を減算します。

形状の境界の面積を計算する方法を示す図。
  • 全体の面積は16m×10m = 160m
  • 端の周りのパスが2m幅であることがわかっているので、中央セクションの寸法を計算できます。
  • 形状全体の幅は16m、形状全体のパスの幅は4m(形状の左側が2m、右側が2m)です。 16m-4m = 12m
  • 高さについても同じことができます:10m-2m-2m = 6m
  • したがって、中央の長方形は12m×6mであると計算しました。
  • したがって、中央の長方形の面積は次のようになります。12m×6m = 72m
  • 最後に、中央の長方形の領域を形状全体の領域から遠ざけます。 160-72 = 88m

道の面積は88mです


平行四辺形は、同じ長さの2対の辺を持つ4辺の形状です。定義上、長方形は平行四辺形の一種です。ただし、ここに示すように、ほとんどの人は平行四辺形を角度の付いた線のある4辺の形状と考える傾向があります。

平行四辺形の面積を計算します。

平行四辺形の面積は、長方形(高さ×幅)の場合と同じ方法で計算されますが、高さは垂直(または垂直から外れた)辺の長さではなく、辺間の距離を意味することを理解することが重要です。

図から、高さは形状の上面と下面の間の距離であり、辺の長さではないことがわかります。

上面と下面の間に直角の架空の線を考えてみてください。これが高さです。


三角形の領域

三角形を正方形または平行四辺形の半分と考えると便利です。

三角形は、正方形または長方形の半分です。

三角形の寸法を知っている(または測定できる)と仮定すると、その面積をすばやく計算できます。

三角形の面積は(高さ×幅)÷2です。

言い換えれば、正方形や平行四辺形の面積と同じ方法で三角形の面積を計算し、答えを2で割るだけです。

三角形の高さは、三角形の一番下の線(底辺)から「頂点」(一番上の点)までの直角三角形として測定されます。

ここではいくつかの例を示します。

三角形の面積を計算する

上の図の3つの三角形の面積は同じです。

各三角形の幅と高さは3cmです。

面積は次のように計算されます。

(高さ×幅)÷2

3×3 = 9

9÷2 = 4.5

各三角形の面積は4.5cmです


実際の状況では、次のような三角形の領域を見つける必要がある問題に直面する可能性があります。

納屋の切妻の端をペイントしたいとします。適切な量​​の塗料を入手するために、一度だけ装飾店に行きたいと思うでしょう。あなたは1リットルのペンキが10mをカバーすることを知っています壁の。切妻の端を覆うのにどれくらいの塗料が必要ですか?

切妻端(三角形)

3つの測定値が必要です。

A-屋根の頂点までの全高。

B-垂直壁の高さ。

C-建物の幅。

この例では、測定値は次のとおりです。

A-12.4m

B-6.6m

C-11.6m

次の段階では、いくつかの追加の計算が必要です。建物を長方形と三角形の2つの形と考えてください。あなたが持っている測定値から、切妻の端の面積を計算するために必要な追加の測定値を計算することができます。

複雑な形状を単純な形状に分割して面積を計算します

測定値D = 12.4 – 6.6

D = 5.8m

これで、壁の2つの部分の領域を計算できます。

壁の長方形部分の面積:6.6×11.6 = 76.56m

壁の三角形の部分の面積:(5.8×11.6)÷2 = 33.64m

これらの2つの領域を合計して、合計領域を見つけます。

76.56 + 33.64 = 110.2m

ご存知のように、1リットルの塗料で10mをカバーします壁の数を計算して、購入する必要のあるリットル数を計算できます。

110.2÷10 = 11.02リットル。

実際には、塗料は5リットルまたは1リットルの缶でしか販売されておらず、結果は11リットル強になります。 11リットルに切り下げたくなるかもしれませんが、塗料に水をかけないと仮定すると、それだけでは十分ではありません。したがって、おそらく次の1リットルに切り上げて、5リットル缶を2つ、1リットル缶を2つ購入して、合計12リットルの塗料を作成します。これにより、無駄が生じ、後日修正するために1リットルの大部分が残ります。また、複数の塗料を塗る必要がある場合は、1つの塗料の塗料の量に必要な塗料の数を掛ける必要があることを忘れないでください。


円の領域

円の面積を計算するには、その面積を知る必要があります直径または半径

円の直径と半径

ザ・直径円の長さは、円の一方の辺からもう一方の辺まで、円の中心点を通る直線の長さです。直径は半径の長さの2倍です(直径=半径×2)

ザ・半径円の中心点からその端までの直線の長さです。半径は直径の半分です。 (半径=直径÷2)

円の周りの任意の点で直径または半径を測定できます。重要なことは、円の中心を通過する(直径)または円の中心で終わる(半径)直線を使用して測定することです。

実際には、円を測定するときは、直径を測定してから2で割って半径を求める方が簡単なことがよくあります。

円の面積を計算するには半径が必要です。式は次のとおりです。

円の面積=π R

これの意味は:

π = Piは3.142に等しい定数です。

R =は円の半径です。

R(半径の2乗)は半径×半径を意味します。


したがって、半径5cmの円の領域があります:

3.142×5×5 = 78.55cm

直径3mの円エリアがあります:

まず、半径を計算します(3m÷2 = 1.5m)

次に、次の式を適用します。

π R

3.142×1.5×1.5 = 7.0695。

直径3mの円の面積は7.0695mです


最終例

この例では、単純な領域の問題を解決するために、このページのコンテンツの多くを利用しています。

面積の計算-ブルーミントンベンジャミンハウスの例。

これはルーベンM.ベンジャミンハウスイリノイ州ブルーミントンで、米国国家歴史登録財(記録番号:376599)に記載されています。

この例では、ドアと窓を除いて、家の正面の領域、木製のスラット部分を見つけます。必要な測定値は次のとおりです。

A-9.7m B – 7.6m
C-8.8m D – 4.5m
E-2.3m F-2.7m
G – 1.2m 高さ– 1.0m

ノート:

  • すべての測定値は概算です。
  • 家の周りの境界を心配する必要はありません-これは測定に含まれていません。
  • すべての長方形のウィンドウが同じサイズであると想定しています。
  • 正円窓の測定値は、窓の直径です。
  • ドアの測定には手順が含まれます。

家の木製のスラット部分の面積はどれくらいですか?

以下の仕組みと回答:



上記の例への回答

まず、家の主な形状の領域、つまり形状を構成する長方形と三角形を計算します。

主な長方形(B×C)7.6×8.8 = 66.88m

三角形の高さは(A – B)9.7 – 7.6 = 2.1です。

したがって、三角形の面積は(2.1×C)÷2です。
2.1×8.8 = 18.48。 18.48÷2 = 9.24m

家の正面の合計面積は、長方形と三角形の面積の合計です。

66.88 + 9.24 = 76.12m

次に、窓とドアの面積を計算して、全面積から差し引くことができるようにします。

扉と階段の面積は(D×E)4.5×2.3 = 10.35m

1つの長方形の窓の面積は(G×F)1.2×2.7 = 3.24m

5つの長方形の窓があります。 1つのウィンドウの面積に5を掛けます。

3.24×5 = 16.2m2。 (長方形の窓の総面積)。

正円窓の直径は1mであるため、半径は0.5mです。

π Rの使用、正円窓の面積を計算します:3.142×0.5×0.5 =。 0.7855m

次に、ドアと窓の領域を合計します。

(ドア領域)10.35 +(長方形の窓領域)16.2 +(正円窓領域)0.7855 = 27.3355

最後に、全面積から窓とドアの総面積を差し引きます。

76.12-27.3355 = 48.7845

家の正面の木製のスラットの面積、そして問題への答えは:48.7845m

答えを48.8mに切り上げることをお勧めしますまたは49m

上のページを参照してください推定、近似、および丸め

次の手順に進みます。
面積、表面積、体積のリファレンスシート

ボリュームの計算