湾曲した形状

参照:ポリゴン

円、楕円、放物線、双曲線

上の私たちのページポリゴン「平面形状」とも呼ばれる、直線で作成された形状をカバーします。このページでは、曲線のある形状、特に2次元の形状について詳しく説明します。

2次元の曲線形状には、円、楕円、放物線、双曲線のほか、円弧、扇形、セグメントが含まれます。球、円柱、円錐を含む3次元の湾曲した形状については、次のページで説明しています。三次元形状

二次元の湾曲した形状

円のプロパティ。円周、直径、半径。

サークル

おそらく最も一般的な2次元の湾曲した形状は円です。

ジオメトリで円(およびその他の曲線形状)を操作するには、円の主要なプロパティを理解することが重要です。

  • 円の中心をまっすぐ横切る線は直径

  • 直径の半分は半径

  • 円の縁の周りの線は

円周上の任意の点は、円周上の他の点とまったく同じ距離で円の中心から離れています。

π(pi)の紹介


πまたはpiはギリシャ文字です。数学では、特定の定数を表すために使用されます。これは、無理数または無限の数でもあります(上のページを参照してください)。特別番号多くのための)。

πの値は3.142です(無限大ですが、これは正確な値の近似値です)。


円周率と円の面積を計算するために使用されるため、πは重要です。

円の円周は、πx直径、または2×π×半径(2πrと略記)に等しくなります。

円の面積はπ×半径に等しい。この式は通常πrと省略されます

エリアの詳細については、当社のページをご覧ください面積の計算

セクターとセグメント

セクターとセグメントは、円の「スライス」です。

セクターピザのスライスのような形をしており、エッジが湾曲していて、各直線の辺が円の半径と同じ長さ、つまりピザが切り取られたものです。円グラフは、表示されるデータにサイズが関連するいくつかのセクターで構成されています。

扇形は任意のサイズにすることができますが、半円(180°)の扇形は半円、4分の1の扇形(90°)は四分円

セグメントは扇形の湾曲した部分であり、扇形から三角形を削除した場合に残る部分です。セグメントは2行で構成されています。ザ・アーク(円の円周のセクション-以下を参照)およびコード-円弧の両端を結ぶ直線。

半円(半円)と四分円(四分円)を含む扇形。円、弦、円弧のセグメント。

扇形は円の一部であるため、その面積は円全体の面積の一部です。扇形の面積を計算するには、その中心角、θ、および半径を知る必要があります。

セクターの面積は、次の式を使用して計算できます。

πr×(θ÷360)

アーク

円弧の長さ。 2πr×(θ÷360)

円周のセクションは、アーク

点Aと点Bの間の円弧の長さを計算するには、点Aと点Bの間の中心の角度を知る必要があります。θ(シータ)は、AとBによって定められたこの角度を表すために使用される記号です。この例では、 θには度を使用していますが、ラジアンを使用することもできます。

また、円弧の半径(r)を知る必要があります。

円全体に360°があるため、円弧の長さは中心角(θ)を360で割った後、円全体の円周(2πr)を掛けたものに等しくなります。

2πr×(θ÷360)

例:

r = 10cm、θ= 88°、π= 3.14

弧長=2 x 3.14 x 10 x(88÷360)= 62.8×0.24 =15.07cm

度またはラジアン?


角度の最も一般的に使用される測定単位は度ですが、角度がラジアンで測定される計算に出くわすこともあります。これは、測定角度の標準SI単位です。ラジアンの詳細については、アングル入門ページ。 SI測定システムの詳細については、次のページを参照してください。測定システム

2πラジアンは360°に等しいので、θがラジアンであるときの弧長の式は単純にrθです。


省略記号

楕円は、2つの焦点を囲む平面(または平面)上の曲線です。ある焦点から曲線上の任意の点に、次に別の焦点に引かれた直線は、曲線上のすべての点で同じ長さです。

すべての惑星は太陽を焦点の1つとする楕円軌道を持っているため、楕円は天文学と物理学において非常に重要です。

円は楕円の特定の形式であり、2つの焦点が同じ場所(円の中心)にあります。楕円は「楕円形」と表現されることもありますが、「楕円形」という言葉は数学ではそれほど正確ではなく、単に「広く卵形」を意味します。

楕円のプロパティ。この図には、頂点と焦点を含む長軸と短軸が含まれています。

楕円のプロパティ:

楕円には2つの主軸があり、それらの周りで対称です。

長軸はと呼ばれます主軸;短軸は短軸

軸が円周と交差する4つの点は、頂点(特異頂点)。短軸が円周と交差する2点は、共頂点

二つ焦点(または焦点、軌跡または軌跡と呼ばれることもあります)は両方とも主軸上にあり、中心から等距離にあります。

一方の焦点から円周上の任意の点まで、そしてもう一方の焦点まで戻る距離(図の青い点線)は、主軸上の頂点間の長さと同じです。

楕円が伸びる程度は、その楕円によって定義されます。偏心。離心率の計算式は次のとおりです。

離心率= 中心から焦点までの距離
主軸の中心から頂点までの距離

焦点がまったく同じ場所(中心)にあるため、円の離心率はゼロです(偶然)。したがって、中心から焦点までの距離はゼロです。楕円が長くなると離心率は大きくなりますが、常に1未満になります。中心から焦点までの距離が中心から頂点までの距離と同じである場合、楕円は直線になり、その離心率は直線になります。 1に等しい。

楕円の面積は、π(½x短軸)(½x長軸)として計算されます。


放物線、双曲線、および曲線形状間の関係

放物線と双曲線は曲線形状のより多くの形式ですが、円や楕円よりも定義が複雑です。それらはすべて相互に、また円や楕円と密接に関連しています。円錐曲線、つまり、平面のある円錐をスライスすることによって形成される形状。

円錐曲線の特性は何千年もの間研究されており、ユークリッドやアルキメデスなどの古代ギリシャの数学者にとって関心の対象でした。下の図は、サンドタイマーのようなダブルコーンを示しています。

  • 平面が円錐の底面に平行な角度で(つまり、その垂直軸に垂直に)円錐を切断する場合、サークル形成されます(左上)。

  • 飛行機が円錐を切る場合円錐の側面に平行、次に衛星放送受信アンテナ形成されます(中央)。

  • 平面がこれら2つの間の角度で円錐を切断し、すべての場所で円錐の側面との接触を維持する場合、楕円形成されます(左下)。

  • 平面が両方の円錐をより垂直な角度で切断する場合、断面は双曲線

放物線と双曲線はどちらも、単一の対称軸とバーテックス(曲線のU字型の最低点)。

すべての放物線は、どんなに大きくても同じ特徴的な形をしています。頂点から無限大に向かってさらにズームアウトすると、放物線はボウルの形からヘアピンの形に変化し、腕はますます平行に近づきます。

放物線とは異なり、双曲線はさまざまな形にすることができます、カットの角度が大きく異なる可能性があるため。放物線と双曲線はどちらも無限ですが、双曲線の腕が平行になることはありません。

円錐曲線。円錐をカットして、円、楕円、放物線、または双曲線を作成する方法。

円錐曲線の実際のアプリケーション


円錐曲線の実際のアプリケーションはたくさんあります。

  • それらは望遠鏡のレンズやヘッドライトやスポットライトのリフレクターに使用され、光線を作り出します。
  • これらの形状に関連する複雑な計算は、衛星の軌道の計算に不可欠です。
  • エンジニアリングでは、ゴールデンゲートブリッジのケーブルは完全な放物線の形をしており、航空機の翼は楕円に基づいています。
  • スポーツでは、弧の後にサッカー、野球、またはクリケットボールが続くことも放物線であるため、円錐曲線を理解することは、プレーヤーのパフォーマンスを分析するために不可欠です。
  • これらの形の有機的な形は、芸術や建築での使用にも役立ちます。例としては、ムンバイのサイバーテクチャーエッグ、ミズーリ州のゲートウェイアーチ、グッゲンハイム美術館のリチャードセラのトルクドエリプスなど、数多くの彫刻家の作品があります。

必要なスキルは?

円は基本的なジオメトリの一部であり、円の基本的なプロパティを計算する方法を本当に知る必要があります。

ただし、工学、物理学、または天文学に真剣に取り組みたい場合を除いて、他の形状の存在を認識する以上のことを行う必要がある可能性はほとんどありません。

とはいえ、発電所の冷却塔の凹状の曲線、または下向きのハロゲンランプからの光が双曲線の形をしていることを知っていただければ幸いです。

次の手順に進みます。
面積の計算
三次元形状