代数入門

参照:集合論

多くの人が方程式そして代数それらを超えています-方程式を扱わなければならないという考えは彼らを恐れで満たします。ただし、方程式を恐れる必要はありません。

幸いなことに、方程式は実際には比較的単純な概念であり、少し練習していくつかの単純なルールを適用することで、方程式を操作して解決する方法を学ぶことができます。

このページは、代数の基本を紹介するように設計されており、簡単な方程式をより快適に解けるようになることを願っています。

方程式とは何ですか?


方程式は、それらの関係を示す記号の両側にある2つの式です。

その関係は、等しい(=)、より小さい()、またはいくつかの組み合わせである可能性があります。たとえば、(≤)以下、または(≠)以下、または(≈)にほぼ等しいこれらは、次のように知られています。平等シンボル。

したがって、単純な方程式には2 + 2 = 4および5+ 3> 3 +4が含まれます。

しかし、ほとんどの人が方程式について話すとき、それらは代数方程式を意味します。

これらは、数字だけでなく文字も含む方程式です。文字は、数式が複雑すぎる場合や、特定の数値を使用するのではなく一般化したい場合に、一部の数値を置き換えるために使用されます。これらは、方程式の一部の値がわかっている場合にも使用できますが、他の値は不明であり、それらを計算する必要があります。

代数方程式は、文字が何を表すかを計算することによって解かれます。

上記の2つの単純な方程式は、数値の1つに(x )を代入することにより、代数方程式に変換できます。

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

2 + 2 = 4であることがわかっています。つまり、(x )は4に等しくなければなりません。したがって、方程式の解は次のようになります。( boldsymbol {x} )= 4

5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )

5 + 3 = 8であることがわかっています。この式は、8が(>)3 + (x )より大きいことを示しています。

必要がある再配置(x )が一方の側にあり、すべての数値がもう一方の側にあるような方程式。そうしないと、(x )の値を見つけることができません。方程式を再配置する規則は次のとおりです。あなたが一方に何をするか、あなたはもう一方にもしなければなりません。これについては以下で詳しく説明します。

両側から3を取ります(8 − 3 = 5)、すると方程式は次のようになります。

5> ( boldsymbol {x} )

(x )は5未満でなければならないことがわかります( (バツ )<5)。

与えられた情報では、(x )が何であるかをより正確に言うことはできません。ただし、例として使用した最初の式では、(x )の代わりに4を使用しました。これは、実際には5未満です。

カーリー 'x'(({x} ))を使用することに魔法はありません。あなたは好きな文字を使うことができますが ({バツ} )そして({Y} )方程式の未知の要素を表すために一般的に使用されます。

変数と定数


代数の数の代わりに使用される文字は、変数、使用するたびに異なる番号を表すためです。

これは、常に3.142である( pi )(pi)など、同じ番号の代わりに常に使用される特定の文字とは異なります。そのような手紙はと呼ばれます絶え間ない

代数方程式では、与えられた数も常に同じであるため、定数です。

定数を含む方程式を解く必要がある場合は、常にその値が通知されます。


方程式の項

項は、通常、加算(+)または減算(&minus;)記号によって、他の部分から分離された方程式の一部です。

用語のグループは、数学的な文や説明のように、表現と呼ばれます。数式の中には、数字や文字でいっぱいの非常に怖いものもあり、ギリシャ語でさえあるものもあります。ただし、重要なのは、各用語を個別に見て、それをあなたが知っていること、またはあなたが解決できることに分解することです。これを行うと、最初に思ったほど難しいとは限らないことが理解できるようになります。

用語は、数字だけでも、文字でも、2 ( boldsymbol {x} )、3 ( boldsymbol {xy} )、4 などの文字と数字の組み合わせでもかまいません。 ( boldsymbol {x} )

文字と数字を含む用語では、数字はとして知られています係数、そして文字は変数。係数は単に「乗数」であり、その項にあるもの(変数)の数を示します。

まったく同じ変数を持つ用語は、同類項、そして、単純な数であるかのように、それらを加算、減算、乗算、または除算することができます。例えば:

方程式2 (x )+ 3 (x )は5 (x )に等しく、単純に2ロットの(x )に3ロットの(x )を加えて、5ロットの( x )(5 (x ))。

$$ 5xy-xy = 4xy $$ $$ 5y×3y = 15y ^ 2 $$

君はできません「用語とは異なり」を加算または減算します。ただし、変数を組み合わせて係数を乗算することにより、それらを乗算できます。

したがって、たとえば、3 (y )×2 (x )= 6 (xy )(6 (xy )は単に(x )x (y )の6倍を意味するため)。

異なる用語を分数に変換してキャンセルすることで、それらを分割できます。数字から始め、次に文字から始めます。

したがって、たとえば:

( large {6xy÷3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2y $$
上を割る
と底
3までに
上を割る
と底
xによって
1はすることができます
無視されたので
分割されたもの
1でそれ自体です

方程式の再配置と解法

多くの場合、方程式を解くには、おそらく次のことを行う必要があります。再配置それ。これは、等式記号の片側に(x )を含む項のみが含まれるように、項を移動する必要があることを意味します(=、>、またはなど)<) and all the numbers on the other.

このプロセスは時々呼ばれます(x )を分離する

一連の簡単なルールを使用して方程式を並べ替えることができます。

  1. 方程式の片側に何をするにしても、あなたはしなければならない他にも同じことをします。そうすれば、それらの間の関係を維持できます。 2を取り去るか、57を足すか、150を掛けるか、(x )で割るかは関係ありません。あなたが両側にそれをする限り、方程式は正しいままです。方程式を一連のスケールまたはシーソーと考えると、常にバランスが取れている必要があります。

  2. 上の私たちのページ添加追加する順序は関係ありませんが、答えは同じであると説明しています。これは、式を再配置して、同類項一緒にすると、簡単に合計できます。これはに適用されます減算あなたが私たちのページから覚えている限りも正の数と負の数その減算負の数を追加するのと同じです。したがって、たとえば、10&minus; 3 = 10 +(-3)。

  3. 方程式は次のように機能しますBODMASまた、正しい順序で計算を行うことを忘れないでください。

  4. 方程式は常に可能な限り単純な形式にします。角かっこを乗算し、除算し、分数をキャンセルし、同様のすべての項を加算/減算します。

実施例:

(x )についてこれらの方程式を解いてみてください。ボックスをクリックして、動作と回答を表示してください。

$$ large {x + 3 = 5×4} $$
  • 他の計算と同様に、最初に乗算を行います。 5×4 = 20
  • したがって、(x )+ 3 = 20
  • 次のステップは、両側から3つを取ることです
  • (x )+ 3-3 = 20-3
  • 20-3 = 17。

これはあなたに答えを残します:(x )= 17

$$ large {5 + x + 21 = 3 + 6×5} $$
  • 文字が含まれていないため、最初に右側で計算を行います。角かっこはないので、最初に乗算し、次に加算します。
  • 6×5 = 30、および30 + 3 = 33。
  • 左側の計算は加算計算なので、すべての数値が揃うまで、用語を移動できます。
    5 + (x )+ 21 = (x )+ 5 + 21
    および5+ 21 = 26。
  • これで、26 + (x )= 33になります。
  • 今、あなたは両側から26を取ることができます
  • 26 + (x )− 26 = (x )= 33-26
  • そして33-26 = 7。

したがって、(x )= 7

$$ large {x ^ 2 + 5 = 13 − 4} $$
  • 片側から5つずつ取り除いて、片側のすべての数字を取得するように並べ替えます。
  • 今、あなたは持っています
    (バツ )= 13 − 4 − 5、
  • (バツ )= 4
  • ここで、(x )ではなく(x )の値を見つけたいので、両側の平方根を取る必要があります。
  • 2×2 = 4であることがわかります。これは、4 = 2の平方根を意味します。

(x )= 2



方程式とグラフ

(x )と(y )の2つの変数の間に関係がある方程式は、(x )が水平軸(x軸と呼ばれることもあります)に沿った折れ線グラフとして描くことができます。 )および垂直軸上の(y )(y軸と呼ばれることもあります)。

(x )の特定の値について方程式を解くことにより、グラフ上の点を計算できます。

例:

(大{y = 2x + 3} )
(バツ ) 0 1 3 4 5 6
計算 2(0)+ 3 2(1)+ 3 2(2)+ 3 2(3)+ 3 2(4)+ 3 2(5)+ 3 2(6)+ 3
(Y ) 3 5 7 9 十一 13 15
グラフを使用して、xの任意の値に基づいてyの値を計算します。

方程式のグラフを描くことの利点は、それを使用して、(x )の任意の値に対する(y )の値、または実際にの任意の値に対する(x )の値を計算できることです。 (y )、グラフを見てください。

この例では、(y )= 10のときの(x )の値は何ですか?

10に達するまでy軸を上に移動し、次にグラフの線に達するまで水平に移動します。その時点で、x軸に到達するまで下に移動します。これはグラフの赤い線で示され、(y )= 10、(x )= 3.5の場合にわかります。


( large {y = x ^ 2 + x + 4} )

(x )= 0の場合、(y )= 0 + 0 + 4 = 4
(x )= 1の場合、(y )= 1 + 1 + 4 = 6
(x )= 2の場合、(y )= 4 + 2 + 4 = 10
等々...

(バツ ) 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10
(Y ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
代数のグラフ。 xの値を使用してyの値を見つけます。

外挿


方程式をグラフにプロットするもう1つの利点は、データ(数値情報)を外挿して、(x )または(y )のより大きな値を計算できることです。外挿とは、データから引いた線を継続してグラフを拡張し、既存のデータの範囲を超えて(x )と(y )の値を推定することを意味します。

最初の例では、方程式は直線を生成するため、このグラフの外挿は簡単です。ただし、2番目の例のように、直線ではないグラフを外挿する場合は注意が必要です。


結論として

このページでは、簡単な方程式を解く方法、および方程式とグラフの関係について説明し、方程式を解くための代替方法を提供します。

これで、連立方程式や2次方程式などのより複雑な方程式に進む準備が整いました。


次の手順に進みます。
同時および二次方程式
確率はじめに