同時および二次方程式
から続く：代数入門私たちのページ代数入門基本的な代数で簡単な方程式を解く方法を説明します。
このページでは、分数を含む方程式を含むより複雑な方程式と、発生する可能性のある2つの特定の問題（連立方程式と2次方程式）について説明します。
最も重要なことは、これらの方程式が他の方程式と同様に規則に準拠していること、および方程式の両側で同じことを行うことを覚えている限り、それらを操作できることを明確にすることです。
代数の括弧
代数方程式では、括弧（括弧）内の用語に出くわすことがよくあります。方程式を解くには、次のことが必要になる場合があります。展開角かっこ。これは、いくつかのルールに従って、式を処理し、論理的な方法で角かっこを削除する必要があることを意味します。
方程式に角かっこが1つしかない場合、プロセスは簡単です。例えば：
$$ 4（x − 2）= 18 $$この場合、方程式の左側の角かっこ内のすべてに4が掛けられます。最初に、角かっこを項ごとに展開します。
$$ 4x-8 = 18 $$これで、（x ）の方程式を解くことができます。次に、各側に8を追加します。
$$ 4x = 26 $$最後に、各辺を4で割ります。
$$ x = 6.5 $$方程式に2セット（またはそれ以上）の括弧があり、それらを一緒に乗算する必要がある場合、プロセスはより複雑になりますが、論理的なルールセットに従います。
たとえば、次の式を展開します。
$$(2x + 5)(x + 4) = 0$$方程式の左辺では、（2 （x ）+ 5）に（（x ）+ 4）を掛ける必要があります。括弧の各セットには、複数の用語が含まれています。角かっこのセットにかっこを掛けるだけの場合ではありません。係数、前の例のように、ブラケット全体に4を掛けました。
この場合、最初の括弧内の各項に2番目の括弧内の各項を掛けて、それらをすべて合計する必要があります。つまり、（x ）に（x ）を掛け、（x ）に4を掛けます。 、次に（x ）x 5、次に4 x 5です。かなり複雑に見えるので、次のような方法を使用できます。'ホイル'助けるために。
FOILはの略ですF最初にまたは子宮私男性Last。
最初：2 （x ）×（x ）= 2 （x ）二
外側：2 （x ）×4 = 8 （x ）
内側：5×（x ）= 5 （x ）
最後：5×4 = 20
次のステップは、これらを一緒に追加することです。
2 （x ）二+ 8 （x ）+ 5 （x ）+ 20は2 （x ）と同じです二+ 13 （x ）+ 20。
したがって、元の方程式（2 （x ）+ 5）（（x ）+ 4）= 0は次のようになります。
$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$このタイプの方程式は、二次方程式。これについては以下で詳しく説明します。
分数の方程式
分数の方程式は少し気が遠くなるように見えますが、それらを解きやすくするための簡単なトリックがあります。
クロス乗算両側に各分母を掛けて分数を削除する必要があります。分数の操作の詳細については、次のページを参照してください。分数。
実施例
$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$
分数を削除するには、方程式の両辺に各分母（3と5）を順番に掛けます。
まず、各辺に3を掛けます。
左側では、2つの3がキャンセルされ、2 + （x ）が残ります。
右側で、分子の角かっこを展開して27 + 3 （x ）を作成します
ここで、両側に5を掛けます。ここでも、2つの5が右側でキャンセルされ、次のようになります。
$$ 5（2 + x）= 27 + 3x $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$（x ）を含む項が左側にあり、数値のみを含む項が右側になるように方程式を再配置します。まず、各側から10を引きます。
$$ 5x = 17 + 3x $$次に、各側から3 （x ）を引いて、左側のすべての（x ）値を取得すると、次のようになります。
$$ 2x = 17 $$最後に、両側を2で割ると、（x ）の値が得られます。
$$ x = 8.5 $$（x ）は必ずしも整数である必要はないことに注意してください。
連立方程式
これまでのところ、すべての例には1つの「不明な」変数（x ）しか含まれていません。代数を使用してこれらの方程式を解き、（x ）の値を見つけることができます。不明なものが1つある場合、答えを得るのに必要な方程式は1つだけです。
ただし、（y ）= 4 （x ）+ 5のような方程式がある場合は、次のようになります。2つの未知数、（x ）および（y ）？
（x ）、（y ）、（z ）の3つの未知数がある、より複雑な方程式に出くわすかもしれません。
これらを解決するには、未知数と同じ数の方程式が必要であるという規則があります。すべての方程式は、すべての未知数に対して真でなければなりません。これは、2つの未知数に対して2つの方程式、3つの未知数に対して3つの方程式などが必要であることを意味します。
連立方程式は2つの方程式のセットであり、どちらも同じ未知の変数を含み、どちらも真です。それらはと呼ばれます同時それらは一緒に解決されるからです。
連立方程式は、それらをリンクするために長い中括弧で示されることがあります。
変数（x ）と（y ）を使用して連立方程式を解く方法は次のとおりです。
-
最初に1つの方程式を再配置して、（x ）の式または値を取得します。再配置された方程式は、（x ）=数値の場合もあれば、（x ）= （y ）の関数である場合の式の場合もあります（つまり、（y ）は方程式に未知数としてまだ存在します。 ）。これは（x ）=ƒ（（y ））と書かれていることがあります。これは、単に「（x ）が（y ）」の関数であることを意味します。
（x ）の値または式を取得したら、それを他の方程式に代入して、（y ）の値を見つけることができます。この新しい方程式には、未知数（y ）が1つだけあります。
- 最後に、あなたの答えが（x ）=？ステップ（1）の（y ） 'が含まれている場合、ステップ（2）の（y ）の値を（x ）の式に代入して、（x の値を見つけることができます。 ）。
実施例1：ステップ1でxを値として解くことができる場合。
$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$2 （x ）= 6の場合、（ boldsymbol {x} ）= 3。
2番目の方程式の（x ）を3に置き換えることで、それを解いて（y ）が何であるかを知ることができます。
$$ y =（4 3倍）+ 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$
実施例2：ステップ1で（x =ƒ（y））が得られた場合
$$ biggl { begin {eqnarray} x --y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$ステップ1：（x ）＆minus;の場合（y ）= 1、次に（x ）= 1 + （y ）
ステップ2：これを2番目の式に代入すると、2（1 + （y ））+ 3 （y ）= 27になります。
角かっこを展開すると、2 + 2 （y ）+ 3 （y ）= 27になります。
次に2+ 5 （y ）= 27
したがって、5 （y ）= 25であり、解が得られます。（ boldsymbol {y} ）= 5。
ステップ3：（x ）– （y ）= 1であることがわかっているため、（ boldsymbol {x} ）= 6。
二次方程式
（ax ^ 2 + bx + c = 0 ）の形式をとる方程式はaと呼ばれます二次方程式。
（ boldsymbol {a} ）、（ boldsymbol {b} ）、（ boldsymbol {c} ）はすべて数値であり、どの方程式でもすべて同じでも異なっていてもかまいません。また、負または正の場合もあります。
二次方程式の例は次のとおりです。
（ boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ）。この式では、（a ）= 2、（b ）= 5、および（c ）= 10です。
（ boldsymbol {3x ^ 2-3x + 9 = 0} ）。この式では、（a ）= 3、（b ）= -3、（c ）= 9です。
-
（ boldsymbol {52x ^ 2 + x} ）＆minus; （ boldsymbol {45 = 0} ）。この式では、（a ）= 52、（b ）= 1、および（c ）=＆minus; 45です。
放物線と二次方程式
二次方程式は数学と科学において非常に重要です。これらは、放物線（放物線）の数学的「記述」です。放物線および円錐曲線と呼ばれるその他の曲線形状の詳細については、次のページを参照してください。円、楕円、放物線、双曲線。二次方程式の（a ）、（b ）、および（c ）の値は、曲線の形状と、一連のデカルト座標（x軸とy軸）内のどこに配置されるかを示します。詳細については、上のページを参照してくださいデカルト座標。
（a ）= 1、（b ）= −4、（c ）= 5の2次方程式から描かれた放物線は次のようになります。
これらの方程式を解くには、いくつかの異なる方法があります。
1.因数分解することによって
数学では、要因一緒に乗算されるものです。因数分解は、2つを作成するために使用されるプロセスです要因一緒に乗算できる二次式から。これらの要素は、それぞれの中に（x ）を含む単純な線形式を持つ括弧のセットです。
角かっこで囲まれた2つの式（（x ）+数値）（（x ）+別の数値）を乗算して、2次方程式を作成します。これは、すべての人がそれは解決策を持っていますこの2つの括弧の形式で書くことができます。
これは、上記のブラケットを拡張するためのFOILメソッドの反対です。一緒に乗算されたブラケットの2つのセットを展開すると、次のようになります。
$$ boldsymbol {（x + m）（x + n）= x ^ 2 +（m + n）x + mn} $$これは、（x ^ 2 + bx + c ）の形式の方程式がある場合、2つの数値を探しているため、乗算すると（c ）が得られ、加算すると次のようになります。 （b ）。これらが整数として存在する場合、通常はすぐに確認できます。
最も単純な二次方程式のみを簡単に因数分解できます。数分経っても因数分解で解決できない場合は、別の方法を試すことをお勧めします。
実施例
$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$
4×5 = 20、および4 + 5 = 9であることがわかります。
したがって、2つの角かっこは（（x ）+ 4）（（x ）+ 5）です。
この式はゼロに等しくなければならないので、（x ）+ 4 = 0または（x ）+ 5 = 0のいずれかです。
方程式の2つの解は次のとおりです。（ boldsymbol {x} ）= −4および（ boldsymbol {x} ）= −5。
二次方程式に2つの解があるのはなぜですか？
グラフが放物線の形をしているからです。
以下は、上記の例で使用されている方程式のグラフです（y ）= （x ）二+ 9 （x ）+ 20。
（x ）の2つの値は、方程式の根として知られています。これらは、（y ）= 0の場合の（x ）の値です。グラフでは、x軸で（y ）= 0です。したがって、点（x ）= −4および（x ）= −5は、方程式の曲線がx軸と交差する場所です。 （y ）（曲線の最低点）の最小値は、（x ）= −4と（x ）= −5の間にあります。このグラフでは、曲線がx軸の下に沈んでいるのを見ることができます。
方程式をもう一度見ると、（x ）= 0の場合、（y ）= 20です。グラフでは、曲線が+でy軸（（x ）= 0）と交差していることがわかります。 20。これはy切片として知られており、常に2次方程式の（c ）の値です。
2.数式を使用する
2つの要因が明らかでない場合、次のステップは数式を使用することです。解くことができるすべての二次方程式は、次の式を使用して答えを与えます。
$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} $$この場合、（a ）は（x ）の係数です。二、（x ）の（b ）、および（c ）は、方程式が（ax ）の形式である場合の最後の数です。二+ （bx ）+ （c ）= 0。
を持っている任意の方程式のみ（x ）の用語二、（x ）および数値は（ax ）の形式に変換できます二+ （bx ）+ （c ）= 0とし、式を使用して解きます。
（b ）の平方根をプラスまたはマイナスにすることができるため、上の情報ボックスに示すように、2次方程式には常に2つの解があります。それらは方程式の根と呼ばれ、この理由は式（（ pm sqrt））を見るとより明白になります。
一部の二次方程式には「実際の」答えがないことを覚えておくことが重要です。
たとえば、（b ）の場合二＆マイナス; 4 （ac ）が負の場合、虚数の形式を除いて、マイナス数の平方根を持つことはできないため、実際の答えはありません（虚数については、上のページに詳細があります）。特別な番号と概念）。
3.正方形を完成させる
二次方程式を因数分解できない場合は、式を使用する代わりに、次のメソッドを使用します。正方形を完成させる。それはおそらく理解する方法の中で最もトリッキーです。方程式を「」になるように再配置する必要があります完全な二乗三項式’（三項式は、3つの項を持つ数式です）。
それは非常に複雑に聞こえますが、この方法を使用して、二次方程式を因数分解できない方程式から因数分解できる方程式に変換でき、計算することで解を見つけることができると言うのは「数学の話」です。その平方根。
このメソッドは（ax ）に対してのみ機能します二+ （bx ）+ （c ）= 0（（a ）= 1の場合）（b ）が偶数の場合、さらに優れています。
方程式を解くには、別の式を導入する必要があります。
$$（x + frac b2）^ 2 + c $$この式を展開して、次のようにすることができます。
$$ x ^ 2 + bx + left（ frac b2 right）^ 2 + c $$これは元の2次方程式と同じですが、追加の項（（ frac b2）^ 2 ）があります。
したがって、元の方程式は、余分な項を除いた新しい式として書き直すことができます。
$$（x + frac b2）^ 2- left（ frac b2 right）^ 2 + c = 0 $$この新しい方程式を並べ替えると、
$$（x + frac b2）^ 2 = -c left（ frac b2 right）^ 2 $$これは、各辺の平方根を取ることで解決できます。
以下実施例この方法を理解しやすくします。
（ boldsymbol {x} ）のとき、（ boldsymbol {x} ）の値を見つけます二＆マイナス; 18 （ boldsymbol {x} ）+ 72 = 0
まず、各辺に（（ frac b2）^ 2 ）を追加して、正方形を完成させます。
この場合、この追加の項は（（18÷2）^ 2 = 9 ^ 2 = 81 ）です。
$$ x ^ 2-18x + 81 = -72 + 81 $$次に、左側を因数分解します。
$$（x-9）（x-9）= 9 $$これはと同じです
$$（x-9）^ 2 = 9 $$この方法を使用すると、元の方程式の左辺がに変換されていることがわかります。完全な二乗三項式。これは、ルーツを取ることで解決できます。
$$ x-9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$結論
このページを読み、例に従ったので、非常に複雑な方程式を処理する能力について、より自信を持っているはずです。
黄金律を覚えておいてください。
方程式の両側に常に同じことをします
もしそうなら、あなたは大丈夫でしょう。