三次元形状:多面体、湾曲したソリッド、および表面積

参照:ポリゴンのプロパティ

このページでは、3次元または「立体」形状のプロパティを調べます。

二次元形状には長さと幅があります。立体的な立体形状にも奥行きがあります。立体形状は、その性質上、表面で区切られた内側と外側を持っています。触れることができるすべての物理的なアイテムは、立体的です。

このページでは、ポリゴンに基づく多面体と呼ばれる直線のソリッドと、地球儀、円柱、円錐などの曲線のあるソリッドの両方について説明します。


多面体

多面体(または多面体)は、まっすぐな側面の立体形状です。多面体は、直線のある2次元の平面形状であるポリゴンに基づいています。

私たちのページを見るポリゴンのプロパティポリゴンの操作の詳細については。

多面体は次のように定義されます。

  • まっすぐエッジ
  • と呼ばれる平らな側面
  • と呼ばれるコーナー頂点

多面体は、多くの場合、エッジ、面、頂点の数、および面がすべて同じ形状とサイズであるかどうかによって定義されます。ポリゴンと同様に、多面体は規則的(正多角形に基づく)または不規則(不規則な多角形に基づく)にすることができます。多面体は、凹面または凸面にすることもできます。

最も基本的でおなじみの多面体の1つは立方体です。立方体は正多面体であり、6つの正方形の面、12のエッジ、および8つの頂点があります。


基本的な多面体の特性。正多面体、プリズム、ピラミッド。

正多面体(正多面体)

5通常の立体は特殊なクラスの多面体であり、そのすべての面は正多角形である各面と同一です。正多面体は次のとおりです。

  • 四面体4つの正三角形の面があります。
  • キューブ6つの正方形の面で。
  • 八面体8つの正三角形の面があります。
  • 十二面体12個の五角形の面があります。
  • 二十面体20個の正三角形の面があります。
これらの正多面体のそれぞれの図については、上の図を参照してください。

プリズムとは何ですか?

プリズム2つある多面体です一致する端と平らな側面。プリズムをその長さに沿って、端に平行に任意の場所で切断すると、その断面は同じになります。つまり、2つのプリズムになります。プリズムの側面は平行四辺形-同じ長さの2対の辺を持つ4辺の形状。

反角柱通常のプリズムに似ており、両端が一致しています。ただし、アンチプリズムの側面は、平行四辺形ではなく三角形で構成されています。反角柱は非常に複雑になる可能性があります。

ピラミッドとは何ですか?

ピラミッドは、ポリゴンベースに接続します頂点(トップポイント)ストレートサイド。

古代エジプト人が作ったような正方形の底面を持つピラミッドを考える傾向がありますが、実際には、規則的または不規則な任意の多角形の底面を持つことができます。さらに、ピラミッドは、その基部の真ん中に頂点を持つことができます。右ピラミッド、またはそれが斜めのピラミッド

半正多面体-切頂六面体

より複雑な多面体

多面体には、対称と非対称、凹面と凸面など、さらに多くの種類があります。

半正多面体、たとえば、少なくとも2つの異なる正多角形で構成されています。

切頂六面体(図を参照)は、14面の半正多面体です。面の6つは正八角形で、他の8つは正三角形です。形状には、36個のエッジと24個の頂点(コーナー)があります。


曲線のある3次元形状

湾曲したエッジまたは丸いエッジを含む立体形状は、多面体ではありません。多面体は真っ直ぐな側面しか持てません。

あなたの周りのオブジェクトの多くには、少なくともいくつかの曲線が含まれます。ジオメトリで最も一般的な湾曲したソリッドは、円柱、円錐、球、トーラス(トーラスの複数形)です。

曲線のある一般的な3次元形状:
シリンダー 円錐
シリンダー 円錐
円柱の断面は、一方の端からもう一方の端まで同じです。円柱には、円または楕円の2つの同一の端があります。似ていますが、プリズムは(定義上)平行四辺形の平らな側面を持っているため、円柱はプリズムではありません。 円錐には、円形または楕円形の底面と頂点(または頂点)があります。円錐の側面は頂点に向かって滑らかに先細になっています。円錐はピラミッドに似ていますが、円錐には単一の湾曲した側面と円形の底面があるため、明確です。
トーラス
球 トーラス
ボールや地球のような形をした球は、完全に丸いオブジェクトです。球の表面上のすべての点は、球の中心から等距離にあります。 リング、タイヤ、ドーナツのような形をした正則リングトーラスは、小さな円を大きな円の周りで回転させることによって形成されます。より複雑な形の鳥もあります。

表面積

上の私たちのページ面積の計算2次元形状の面積を計算する方法を説明します。3次元形状の表面積を計算するには、これらの基本を理解する必要があります。

立体形状については、表面積、混乱を避けるため。

各面または側面は事実上2次元形状であるため、2次元形状の面積に関する知識を使用して、3次元形状の表面積を計算できます。

したがって、各面の領域を計算してから、それらを合計します。

平らな形状と同様に、固体の表面積は正方形の単位で表されます:cm、 インチ、m等々。測定単位の詳細については、当社のページをご覧ください。測定システム

表面積計算の例

立方体の表面積

キューブ

ザ・立方体の表面積6つの面がすべて同じであるため、は1つの面の面積(長さx幅)に6を掛けたものです。

立方体の面は正方形であるため、1回の測定を行うだけで済みます。正方形の長さと幅は、定義上、同じです。

したがって、この立方体の1つの面は10×10 cm = 100cmです。。立方体の面の数に6を掛けると、この立方体の表面積は600cmであることがわかります。

その他の正多面体

同様に、他の正多面体(正多面体)の表面積は、片側の面積を見つけて、その答えに辺の総数を掛けることで計算できます。上の基本的な多面体の図を参照してください。

十二面体を構成する五角形の面積が22cmの場合次に、これに辺の総数(12)を掛けて、264cmの答えを出します。


ピラミッド

を計算するには標準ピラミッドの表面積4つの等しい三角形の辺と正方形の底面を持つ:

まず、底辺(正方形)の長さ×幅の面積を計算します。

次に、片側(三角形)の領域を計算します。底辺に沿った幅を測定し、次に底辺の中心点から頂点までの三角形の高さ(傾斜長とも呼ばれます)を測定します。

次に、答えを2で割って1つの三角形の表面積を求め、次に4を掛けて4つの辺すべての表面積を求めるか、単に1つの三角形の表面積に2を掛けます。

最後に、底面と側面の面積を合計して、ピラミッドの総表面積を求めます。

を計算するには他のタイプのピラミッドの表面積、ベースの面積(ベース面積と呼ばれます)と側面の面積(側面の面積)を合計すると、側面を個別に測定する必要がある場合があります。

ネット図

幾何学的ネットは、3次元オブジェクトの2次元の「パターン」です。ネットは、3次元オブジェクトの表面積を計算するときに役立ちます。下の図では、基本的なピラミッドがどのように構築されているかを確認できます。ピラミッドが「展開」されている場合は、ネットが残ります。

ピラミッドネット

ネット図の詳細については、当社のページを参照してください3D形状とネット


プリズムの表面積

プリズム

を計算するにはプリズムの表面積

プリズムの両端は同じで、平行四辺形の側面は平らです。

一端の面積を計算し、2を掛けます。

通常のプリズム(すべての辺が同じ)の場合、一方の辺の面積を計算し、辺の総数を掛けます。

不規則なプリズム(異なる側面を持つ)の場合、各側面の面積を計算します。

2つの答え(端×側面)を合計して、プリズムの総表面積を求めます。


シリンダー

シリンダーの表面積

例:
半径= 5cm
高さ= 10cm

を計算するにはシリンダーの表面積形状の構成要素について考えると便利です。スイートコーンの缶を想像してみてください。上部と下部があり、どちらも円です。辺をその長さに沿って切り、平らにすると、長方形になります。したがって、2つの円と長方形の領域を見つける必要があります。

まず、円の1つの領域を計算します。

円の面積はπ(pi)×半径です

半径を5cmとすると、1つの円の面積は3.14×5です。= 78.5cm

157cmの円が2つあるので、答えに2を掛けます

円柱の側面の面積は、円の周囲長×円柱の高さです。

周囲長はπx2×半径に等しくなります。この例では、3.14×2×5 = 31.4

円柱の高さを測定します。この例では、高さは10cmです。側面の表面積は31.4×10 = 314cmです

総表面積は、円と辺の面積を合計することで求めることができます。

157 + 314 = 471cm


円錐の表面積を計算します。

例:
半径= 5cm
傾斜の長さ= 10cm

円錐

計算するときコーンの表面積「傾斜」の長さとベースの半径を使用する必要があります。

ただし、次の計算は比較的簡単です。

円錐の底にある円の面積は、π(pi)×半径です。

この例では、合計は3.14×5です。= 3.14×25 = 78.5cm

側面の面積である傾斜部分は、次の式を使用して求めることができます。

π(pi)×半径×傾斜の長さ。

この例では、合計は3.14×5×10 = 157cmです。

最後に、ベース領域をサイド領域に追加して、コーンの総表面積を取得します。

78.5 + 157 = 235.5cm


球の表面積を計算します。

テニスボール:
直径= 2.6インチ

ザ・球の表面積は、円の面積の式を比較的単純に拡張したものです。

4×π×半径

球の場合、直径、つまり球を横切る距離を測定する方が簡単なことがよくあります。次に、直径の半分である半径を見つけることができます。

標準的なテニスボールの直径は2.6インチです。したがって、半径は1.3インチです。式の場合、半径の2乗が必要です。 1.3×1.3 = 1.69。

したがって、テニスボールの表面積は次のとおりです。

4×3.14×1.69 = 21.2264インチ


トーラスの表面積を計算します。

例:
R(大半径)= 20 cm
r(小半径)= 4 cm

トーラス

を計算するためにトーラスの表面積2つの半径値を見つける必要があります。

大半径または大半径(R)は、穴の中央からリングの中央までを測定します。

小半径または小半径(r)は、リングの中央から外側の端まで測定されます。

この図は、トーラスの例の2つのビューと、その半径(または半径)を測定する方法を示しています。

表面積を見つけるための計算は2つの部分に分かれています(半径ごとに1つ)。計算は各パーツで同じです。

式は次のとおりです。表面積=(2πR)(2πr)

トーラスの例の表面積を計算します。

(2×π×R)=(2×3.14×20)= 125.6

(2×π×r)=(2×3.14×4)= 25.12

2つの答えを掛け合わせて、トーラスの例の総表面積を求めます。

125.6×25.12 = 3155.072cm


ソリッドの塗りつぶし:ボリューム

立体形状の場合、どのくらいの量を知る必要があるかもしれませんボリューム彼らは持っている。

言い換えれば、あなたがそれらを水または空気で満たした場合、あなたはどれくらいの充填が必要でしょうか?

これは私たちのページでカバーされていますボリュームの計算

次の手順に進みます。
面積の計算
3D形状とネット